Αρχημίδους Ψαμμίτης - καταμέτρησις των κόκων αμμου της γης από τον Αρχημίδη

Εν άλλο μικρόν έργον του Αρχιμήδους, περισωθέν, υπό τον τίτλον Ψαμμίτης το είχεν αφιερώσει εις τον βασιλέα Γέλωνα. Το έργον αυτό φέρεται εις την ελληνικήν, εις δε τας πρώτας λατινικός μεταφράσεις απεδόθη με τον τίτλον De numero arena ή Arenarius.

αρχαίο κείμενο
"Οιονταί τινές, βασιλεύ Γέλων, του ψάμμου τον αριθμόν άπειρον είμεν τω πλήθει λέγω δε ου μόνον του περί Συρακούσας τε και τάν άλλαν Σικελίαν υπάρχοντος, αλλά και του κατά πάσαν χωράν τάν τε οικημέναν και τάν αοίκητον. Εντί δε τίνες δε, οι αυτόν άπει­ρον μεν είμεν ούχ υπολαμβάνοντι, μηδένα μέντοι ταλικούτον κατωνομασμένον υπάρχει αριθμός, όστις υπερβάλλει το πλήθος αυτού"


νεοελληνική απόδοση
"Φρονούν, ω βασιλεύ Γέλων, μερικοί ότι ο αριθμός (των κόκκων) της άμμου είναι κατά το πλήθος άπειρος. Εννοώ δε όχι μόνον τον αριθμόν της άμμου, ήτις υπάρχει εις τας Συρακούσας και την λοιπήν Σικελίαν άλλα και εκείνης ήτις υπάρχει εις όλην την έκτασιν της γης την κατοικημένη και την ακατοίκητον. Υπάρχουν δε μερικοί, οίτινες δεν νομίζουν ότι αυτός είναι άπειρος, αλλά φρονούν ότι δεν υπάρχει ουδείς τόσον μεγάλος αριθμός, δηλούμενος δι' ονόματος, όστις υπερβάλλει τον αριθμόν της".




Η αιτιολογία του περιέργου αυτού τίτλου έγκειται εις το γεγονός, ότι εις το έργον, περί του οποίου πρόκειται, ο μέγας Συρακούσιος έθεσεν ως σκοπόν ν' απόδειξη αβάσιμον τον ισχυρισμόν ότι ο αριθμός των κόκκων της άμμου, πού υφίστανται εις τον κόσμον, ως άπειρος, δεν δύναται να εκφρασθή με τα εν χρήσει αριθμητικά σημεία. Διά να φθάση εις τον σκοπόν ο Αρχιμήδης αναλαμβάνει ν' απόδειξη ότι, αντιθέτως, είναι δυνατόν να παρασταθή γραφικώς ο αριθμός των κόκκων της άμμου, η οποία πληροί μίαν σφαίραν ομόκεντρον της γης και φθάνουσαν μέχρι των απλανών αστέρων, σφαίραν η οποία (όπως αποδεικνύει) έχει διάμετρον μη υπερβαίνουσαν τα 1010 στάδια.

Αφού θέσει προηγουμένως μερικάς εννοίας και ιδέας αστρονομικού χαρακτήρος, προβαίνει κατόπιν εις την παρατήρηση ότι εδόθησαν ονόματα εις τους αριθμούς τους μη υπερβαίνοντας την μυριάδα και ότι δι' αριθμούς μεγαλύτερους δεν γίνεται τίποτε άλλο παρά να επαναλαμβάνεται μία μυριάς μέχρι μυρίων μυριάδων. Ας ονομασθούν λοιπόν «πρώτοι αριθμοί» όλοι οι ούτω προκύπτοντες 108 = 100.000.000, και «μονάς των δευτέρων αριθμών» η μυριάς μυριάδων του μεγίστου πρώτου αριθμού. Με την νέαν αυτήν μονάδα ας αριθμήσωμεν κατά δεκάδας, εκατοντάδας, χιλιάδας και μυριάδας μέχρι μιας μυριάδος μυριάδων (108). Μία μυριάς μυριάδων μονάδων δευτέρων αριθμών ήτοι ο αριθμός 103•8, έστω «μονάς των τρίτων αριθμών». Και με την ιδίαν μέθοδον προχωρούμεν μέχρις ότου φθάσωμεν τον αριθμόν , δηλαδή τον αριθμόν, ο όποιος εκφράζεται γραπτώς υπό της μονάδος ακολουθούμενης υπό 800 εκατομμυρίων μηδενικών.

Εξακολουθεί ο Αρχιμήδης παρατηρών ότι, αν και το πλήθος των αριθμών τούτων είναι πλουσιώτατα επαρκές διά να επιτύχη τον προταθέντα σκοπόν, είναι μολοντούτο εύκολον να προχωρήσωμεν αναλόγως, πολύ περισσότερον. Πράγματι όλοι οι αριθμοί πού δεν υπερβαίνουν τον ας ονομασθούν «αριθμοί πρώτης περιόδου» και εις τον τελευταίον της περιόδου ταύτης ας δοθή το όνομα «μονάς των πρώτων αριθμών της δευτέρας περιόδου». Αριθμούμεν τώρα με αυτούς μέχρις ότου φθάσωμεν τον αριθμόν και ας κληθή ούτος «μονάς των δευτέρων αριθμών τής δευτέρας περιόδου». Προχωρούμεν αναλόγως φθάνοντες διαδοχικώς τας μονάδας μέχρι τού αριθμού . Τοιουτοτρόπως θα έχουν ληφθή όλοι οι αριθμοί της β' περιόδου. Ο τελευταίος τούτων θα εκφράζεται υπό της μονάδος ακολουθούμενης υπό 1600 εκατομμυρίων μηδενικών.

Είναι δυσκολώτατον να λάβωμεν εμπειρικήν εικόνα του μεγέθους τοιούτου αριθμού. Δια να σχηματίσωμεν κάπως μίαν ιδέαν, θα ήτο ίσως σκόπιμον να λάβωμεν υπ' όψιν τάς ακολούθους σκέψεις.

α) Αν υποθέσωμεν ότι ένα ψηφίον κατέχει γραμμικώς εις τον χάρτην διάστημα 2 mm, διά να γράψωμεν 1600 εκ. μηδενικά, το ένα κατόπιν του άλλου, χρειάζεται μία ταινία μήκους 3.200.000 μέτρων ή 3.200 χιλιομέτρων, η οποία αντιπροσωπεύει διάστημα διανυόμενον από ταχύτατον συρμόν εις 32 ώρας.

β) Αν, διά ν' αποφύγωμεν την χρήσιν μιας τόσον δύσχρηστου ταινίας, προτιμήσωμεν να καταχωρήσωμεν τον αριθμόν εις βιβλίον, θα παρατηρήσωμεν ότι οι συνήθεις πίνακες λογαρίθμων περιέχουν εις εκάστην σελίδα 50 γραμμάς, εκάστη των οποίων περιέχει 50 ψηφία, όθεν εις εκάστην σελίδα εισέρχονται 2500 ψηφία. Διά να γράψωμεν λοιπόν τον αριθμόν περί ου πρόκειται χρειάζονται 640.000 σελίδες, δηλαδή 1280 τόμοι των 500 σελίδων έκαστος μία ολόκληρος βιβλιοθήκη!

γ) Λαμβάνοντες υπ' όψιν, ότι διά να γράψωμεν ένα ψηφίον χρειαζόμεθα κάτι ολιγώτερον του ενός δευτερολέπτου, εις μίαν ώραν (3600 sec) θα ημπορέσωμεν να γράψωμεν περίπου 4000 ψηφία και 40000 εις μίαν ημέραν δεκαώρου συνεχούς εργασίας. Όθεν διά να γράψωμεν τον περί ου ο λόγος αριθμόν θα χρειασθώμεν 40000 ημέρας, περισσότερος δηλαδή μιας ζωής πλήρους δραστηριότητος!

Ο Αρχιμήδης σταματά εις τον τελευταίον αριθμόν της δευτέρας περιόδου, χωρίς να παράλειψη την παρατήρησιν, ότι η υπ' αυτού υποδεικνυόμενη μέθοδος γενέσεως αριθμών ολονέν μεγαλυτέρων δύναται να εφαρμοσθή απεριορίστως, όπως είναι εύκολον να πεισθή οιοσδήποτε. Προς διευκόλυνσιν του υπολογισμού με τας νέας αριθμητικάς οντότητας του Αρχιμήδους, ούτος αποκαθιστά το θεώρημα, το όποιον εκφράζομεν σήμερον διά του τύπου :


10m • 10n = 10m+n

όπου m, η φυσικοί αριθμοί. Με την βοήθειαν του θεωρήματος τούτου και όλων των άλλων αστρονομικών και αριθμητικών αρχών, τας οποίας προτάσσει, ο μέγας μαθηματικός φθάνει εις το συμπέρασμα ότι υφίσταται ένας αριθμός, ουχί μεγαλύτερος του 1063, ικανός να παραστήση το πλήθος των κόκκων τής άμμου, πού θα ήδύναντο να καταλάβουν τον χώρον μιας σφαίρας ομοκέντρου προς την γήν, εκτεινομένης μέχρι των απλανών αστέρων.

Και πράγματι εκείνος ο όποιος θα διεξέλθη το πρωτοτυπώτατον αυτό έργον του Αρχιμήδους δεν θα δυνηθή ν' αρνηθή ότι ούτος επέτυχε τον προκαθορισθέντα μακρυνόν στόχον. Αλλά συγχρόνως επέτυχε κάτι πολύ περισσότερον τούτου και καλύτερον. Με το ευφυέστατον αυτό έργον έδειξεν εις τους ομοεθνείς του, οι όποιοι εκυριαρχούντο από ακατανίκητον προκατάληψιν προς τους μεγάλους αριθμούς, ότι και οι αριθμοί αυτοί δύναν­ται να υποβληθούν εις τους ιδίους χειρισμούς, όπως και οι λοιποί της φυσικής σειράς. Επέτυχε δε τοιουτοτρόπως να στρέψη την προσοχήν των συγχρόνων του προς την αριθμητικήν αντίληψιν του απείρως μεγάλου, όπως ακριβώς με την «μέθοδον τής εξαντλήσεως» επέτυχε να διάλυση τας προκαταλήψεις των εναντίον του απείρως μικρού.

Ο Ψαμμίτης είναι έργον τόσον στέρεας δομής και τοιαύτης δυνάμεως, ώστε σχεδόν δεν αφίνει τίποτε να επιθυμήση κανείς. Ακόμη και εκείνοι, οι όποιοι θα επεχείρουν να σταχυολογήσουν εις τον αγρόν τον όποιον εθέρισεν ο Αρχιμήδης, θα επείθοντο πολύ γρήγορα ότι οι κόποι των ματαίως έπρεπε ν’ αναμένουν την παραμικράν ανταπόδοσιν.


Αρχική σελίδα