Αρχιμήδης - «βοεικόν πρόβλημα»

Παρασκευή, 13 Νοεμβρίου 2009

star

Η Ελληνική Ανθολογία, είναι μία συλλογή συγγραφείσα από κάποιον Μητρόδωρον (μεταξύ τέλους του V αιώνος και άρχων του VI αιώνος μ.Χ.) με τον αξιέπαινον σκοπόν να προσφέρη εις τους συμπατριώτας του ένα σύνολον ελκυστικών αριθμητικών προβλημάτων ποικίλου περιεχομένου, χωρίς όμως την αξίωσιν της παροχής ηγγυημένων ιστορικών πληροφοριών. Άλλωστε τα δεδομένα του ανωτέρω προβλήματος έχουν τόσον επιτυχώς συνδυασθή, ώστε να δίδουν πιστευτήν εικόνα των παραδοξοτήτων της ανθρώπινης ζωής.

Αλλά το ωραιότερον και δυσκολώτερον εκ των προβλημάτων των περιεχομένων εις την περί ης ο λόγος συλλογήν (τόσον δύσκολον εις την λύσιν και κατανόησίν του, ώστε απεκλείσθη από τάς πρώτας εκδόσεις) είναι το αποδιδόμενον εις τον Αρχιμήδη «βοεικόν πρόβλημα», αποσταλέν υπό τούτου προς τον επιστήθιον φίλον του Ερατοσθένην τον Κυρηναίον. Θεωρούμεν επιβαλλομένην υποχρέωσιν ν' αναφέρωμεν εδώ την πλήρη εκφώνησιν του προβλήματος :

αρχαίο κείμενο

Πληβὺν Ἠελίοιο βοῶν, ὦ ξεῖνε, μέτρησον φροντίδ' ἐπιστήσας, εἰ μετέχεις σοφίης, πόσση ἄρ' ἐν πεδίοις Σικελῆς ποτ' ἐβόσκετο νήσου Θρινακίης τετραχῆ στίφεα δασσαμένη χροιὴν ἀλάσσοντα· τὸ μὲν λευκοῖο γάλακτος, κυανέωι δ' ἕτερον χρώματι λαμπόμενον,ἄλλο γε μὲν ξανθόν, τὸ δὲ ποικίλον. Ἐν δὲ ἑκάστως στίφει ἔσαν ταῦροι πλήθεσι βριθόμενοι συμμετρίης τοιῆσδε τετευχότες· ἀργότριχας μὲν κυανέων ταύρων ἡμίσει ἠδὲ τρίτω καὶ ξανθοῖς σύμπασιν ἴσους, ὦ ξεῖνε, νόησον, αὐτὰρ κυανέους τῶ τετράτω τε μέρει μικτοχρόων καὶ πέμπτω, ἔτι ξανθοῖσί τε πᾶσιν. Τους δ' ὑπολεπτομένους ποικιλόχρωτας ἄθρει ἀργεννῶν ταύρων ἕκτω μέρει ἑβδομάτως τε καὶ ξανθοῖς αὐτοὺς πᾶσιν ἰσαζομένους.Θηλείαισι δὲ βουσὶ τάδ' ἔπλετο· λευκότριχες μὲν ἦσαν συμπάσης κυανέης ἀγέληςτῶι τριτάτω τε μέρει καὶ τετράτω ἀτρεκὲς ἶσαι·αὐτὰρ κυάνεαι τῶι τετράτω τε πάλιν μικτοχρόων καὶ πέμπτωι ὁμοῦ μέρει ἰσάζοντο σὺν ταύροις πάσαις εἰς νομὸν ἐρχομέναις. Ξανθοτρίχων δ' ἀγέλης πέμπτω μέρει ἠδὲ καὶ ἕκτω ποικίλαι ἰσάριθμον πλήθος ἔχον τετραχῆς. Ξανθαὶ δ' ἠριθμεῦντο μέρους τρίτου ἡμίσει ἶσαι ἀργεννῆς ἀγέλης ἐβδομάτωι τε μέρει. Ξεῖνε, σὺ δ' Ἠελίοιο βόες πόσαι ἀτρεκὲς εἰπών, χωρὶς μὲν ταύρων ζατρεφέων ἀριθμόν, χωρὶς δ' αὖ θήλειαι ὅσαι κατὰ χροιὰν ἕκασται, οὐκ ἄιδρίς κα λέγοι' οὐδ' ἀριθμῶν ἀδαής, οὐ μὴν πώ γε σοψοῖς ἐναρίθμιος. Ἀλλ' ἴθι φράζευ καὶ τάδε πάντα βοῶν Ἠελίοιο πάθη. Ἀργότριχες ταῦροι μὲν ἐπεὶ μιξαίατο πληθὺν κυανέοις, ἵσταντ' ἔμπεδον ἰσόμετροι εἰς βάθος εἰς εὖρός τε, τὰ δ' αὖ περιμήκεα πάντη πίμπλαντο πλίνθου Θρινακίης πεδία. Ξανθοὶ δ' αὖτ' εἰς ἐν καὶ ποικίλοι ἀθροισθέντες ἵσταντ' ἀμβολάδην ἐξ ἑνός ἀρχόμενοι σχῆμα τελειοῦντες τὸ τρικράσπεδον οὔτε προσόντων ἀλλοχρόων ταύρων οὔτ' ἐπιλειπομένων. Ταῦτα συνεξευρὼν καὶ ἐνὶ πραπίδεσσιν ἀθροίσας καὶ πληθέων ἀποδούς, ξεῖνε, τὰ πάντα μέτρα ἔρχεο κυδιόων νικηφόρος ἴσθι τε πάντως κεκριμένος ταύτηι γ' ὄμπνιος ἐν σοφίης.

νεοελληνική απόδοση
Μέτρησον, ω ξένε, το πλήθος των βοών του Ηλίου, αφού καταβάλης προσεκτικήν σκέψιν, εάν είσαι μέτοχος σοφίας, πόσον λοιπόν εις τας πεδιάδας της σικελικής νήσου Θρινακίας έβοσκε, διηρημένον εις τέσσαρας αγέλας, εκάστη των όποιων είχε διαφορετικόν χρώμα. Η μία μεν αγέλη έλαμπεν έχουσα λευκόν ωσάν γάλα χρώμα, η δε άλλη έχουσα χρώμα κυανούν, η τρίτη είχε χρώμα ξανθόν, η δε άλλη χρώμα ανάμικτον. Εις εκάστην αγέλην υπήρχον ταύροι ανερχόμενοι εις αριθμόν πολύ μεγάλον, διαμοιρασμένοι κατά την ακόλουθον συμμετρίαν. Φαντάσου, ω ξένε, ότι οι λευκότριχες ταύροι ήσαν ίσοι κατά τον αριθμόν με το ήμισυ των κυανών ταύρων ηυξημένον κατά το τρίτον και συγχρόνως με τον συνολικόν αριθμόν των ξανθών. Οι κυανοί αφ' έτερου ήσαν κατά τον αριθμόν ίσοι με το τέταρτον και πέμπτον μέρος των αναμίκτου χρώματος και επί πλέον με τον συνολικόν αριθμόν των ξανθών. Τους δε υπολειπρμένους ανάμικτου χρώματος ταύρους φαντάζου ως εξισουμένους κατά τον αριθμόν με το έκτον και έβδομον μέρος των λευκών και με τον συνολικόν αριθμόν των ξανθών. Ως προς τας αγελάδας δε υπήρχον αι ακόλουθοι σχέσεις. Αι λευκαί αγελάδες ήσαν κατά τον αριθμόν ακριβώς ίσαι με το τρίτον και το τέταρτον μέρος όλης της κυανής αγέλης Αι δε κυαναί ήσαν ίσαι κατά τον αριθμόν με το τέταρτον και πέμπτον μαζί μέρος των εχουσών ανάμικτον χρωματισμόν, όταν ήρχοντο όλαι μαζί με τους ταύρους εις την βοσκήν. Αι αναμίκτου δε χρωματισμού αγελάδες είχον αριθμόν ισάριθμον και οπό τα τέσσαρα μέρη, με το πέμπτον και έκτον μέρος της αγέλης των ξανθοτρίχων. Αι δε ξανθαί κατά την αρίθμησιν ευρίσκοντο ίσαι με το ήμισυ του τρίτου μέρους ηυξημένου κατά το έβδομον μέρος της αγέλης των λευκών. Συ δε, ω ξένε, αν μου είπης με ακρίβειαν πόσοι ήσαν οι βόες του Ηλίου, χωριστά πόσοι ήσαν κατά τον αριθμόν οι καλοθρεμμένοι ταύροι, χωριστά δε πάλιν πόσαι ήσαν αι αγελάδες εκάστου χρώματος, δεν θα χαρακτηρίζεσαι ως ανίδεος και ως μη έχων γνώσιν των αριθμών. Αλλά δεν θα είναι δυνατόν να συγκαταριθμηθής ακόμη με τους σοφούς. Έλα λοιπόν σκέψου και τας ακολούθους μεταξύ των βοών του Ηλίου (αριθμητικάς) σχέσεις. Όταν οι λευκότριχες ταύροι ανεμίγνυον το πλήθος των με το πλήθος των κυανών, ίσταντο εις ένα συμπαγή σχηματισμόν, όστις είχε το αυτό μέτρον και κατά τα βάθος και κατά το πλάτος, αι δε πεδιάδες αι απέραντοι της Θρινακίας εγέμιζαν εξ ολοκλήρου από το τετράγωνον αυτό. Από το άλλο δε μέρος οι ξανθοί και οι ανάμικτου χρώματος συναθροιζόμενοι μαζί, εστέκοντο τοιουτοτρόπως, ώστε να αποτελούν, αποτελούμενης της πρώτης γραμμής από ένα, βαθμηδόν το τρίπλευρον σχήμα, χωρίς να είναι παρόντες και χωρίς να είναι απόντες οι ταύροι των άλλων χρωματισμών. Αν αυτά τα εύρης και τα συμπεριλάβης μέσα εις την σκέψιν σου, και εκφράσης όλα τα μέτρα των πληθών, ω ξένε, άπελθε υπερηφανευόμενος ότι ανεδείχθης νικητής και να γνωρίζης ότι έχεις κριθή τέλειος εις αυτήν την σοφίαν
 
Δια να εκτιμήσωμεν τον βαθμόν της δυσκολίας του προβλήματος τούτου ας σημειωθή ότι, αν παραστήσωμεν με υ, χ, y, z τους αριθμούς των ταύρων και υ', x', y', z', εκείνους των αγελάδων εκάστης ομάδος, αι συνθήκαι του προβλήματος μεταφράζονται εις τας ακολούθους εξισώσεις:



Επειδή οι άγνωστοι πρέπει να έχουν ακεραίας τιμάς, εκ των επτά πρώτων εξισώσεων συνάγεται ότι αι εν λόγω τιμαί πρέπει να είναι της, μορφής:
υ = 10366482 λ υ' = 7206360 λ

x = 7460514 λ x'= 4893246 λ
y = 4069197 λ y'= 5439213 λ
z = 7358060 λ z' =3515820 λ

Αν λάβωμεν υπ' όψιν την προτελευταίαν συνθήκην του προβλήματος, βλέπομεν ότι ο λ πρέπει να έχη την μορφήν 445•749ξ2.


Τέλος η τελευταία συνθήκη, αν θέσωμεν 2q+l = t, 2.4657 ξ = u, άγει εις την ακόλουθον σχέσιν μεταξύ t και u:

t2—4729494 u2 = l.

Η σχέσις αύτη ανήκει εις την κατηγορίαν των εξισώσεων, αι οποίαι κοινώς, καίτοι ατόπως, ονομάζονται «εξισώσεις του Pell». Πρόκειται τώρα να ευρεθή μία λύσις τοιαύτη, ώστε το u να είναι πολλαπλάσιον του 2.4657. Εις την ελαχίστην των λύσεων τούτων, αντιστοιχεί ένας αριθμός βοών του Ηλίου εκφραζόμενος από τον αριθμόν 7766 ακόλουθούμενον υπό 206541 μηδενικών και δια να γράψωμεν τας τιμάς όλων των αγνώστων του προβλήματος — υπολογίζοντες 2500 ψηφία ανά σελίδα — θα εχρειάζετο να γεμίσωμεν ένα τόμον 660 σελίδων .

Από το σύντομον αυτό διάγραμμα της λύσεως, η οποία ουδείς θα τολμήση να ισχυρισθή ότι υπερέβαινε τας δυνάμεις ενός Αρχιμήδους, προκύπτει πόσον εξέχουσα ήτο η σημασία του προβλήματος και πόσον δικαιολογημένη ήτο η υπό των αρχαίων χρησιμοποίησες της φράσεως «βοεικόν πρόβλημα», προκειμένου να χαρακτηρίσουν γενικώς οιονδήποτε ζήτημα παρουσιάζον απελπιστικήν δυσκολίαν.

G.LORIA. ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ


Αρχική σελίδα
star

0 αναγνώστες άφησαν σχόλιο: